Родилась в семье врачей. Окончила актёрский факультет ЛГИТМиКа (курс Игоря Владимирова) в 1990 году. Стажировалась в США. С 1993 года работает в театре имени В. Ф. Комиссаржевской. Художественный руководитель русско-американского фестиваля мюзикла.
В 2011 году была избрана в Законодательное Собрание Санкт-Петербурга от партии «Единая Россия». При этом Анастасия пока не является членом партии, находясь в статусе кандидата (сторонника).
Среди предков — крестьяне и купцы, а также дворяне из рода Верёвкиных-Шелют.
В XX веке появилось много врачей-Мельниковых, основным учебным заведением для них была Санкт-Петербургская военно-медицинская академия.
Предки Анастасии родом из Мезени: её прадед Василий Васильевич Мельников был одним из богатейших купцов города. Его сын, дед Анастасии, — хирург-онколог, генерал-майор, академик АМН Александр Васильевич Мельников (1889—1958). отец — Рюрик Александрович (1924—1993)и мать Елена Олеговна (род. 1946) — также хирурги-онкологи.
Братья — Олег (хирург, кандидат наук) и Александр (юрист).
Дядя — Олег Мельников, астроном, член-корреспондент АН СССР.
В 18 лет пережила тяжёлую потерю — смерть Томаза, который, несмотря на 22-летнюю разницу, должен был стать её мужем.
Дочь Мария (род. 24 июля 2002). С 1990 года была замужем за Вячеславом Тельновым (7 сентября 1958, Заслуженный работник культуры РФ) (кинопродюсер, тогда — директор Петербургской студии документальных фильмов, сейчас — генеральный директор ОАО «Киностудия „Ленфильм“»); прожили 8 лет, потом разошлись, позже развелись. В настоящее время — не замужем.