Происхождение
  - сын обер-бергмейстера Федора Федоровича Бегера (старшего) .
  
  Образование
 Окончил Горное училище в 1809 г.
  Биография
  - Начал службу смотрителем Турьинских рудников на Богословских горных заводах на Урале.
  - в 1819 г. перешел на Пермские заводы.
  - в 1826 г. был назначен управляющим Пермскими заводами.
  - в 1827 г. назначен начальником Богословских заводов. Во время управления его, в этом округе открыли богатые золотые россыпи, что дало Бегеру репутацию знатока золотого дела и хорошего администратора.
  - в 1829 г. Бегер был назначен начальником Колывано-Воскресенских заводов (нынешние Алтайские заводы), где в следующем же году были открыты золотые россыпи. За эти открытия Бегер был награжден орденом св. Анны 2-й степени и тем же орденом с императорскою короною и получил Высочайшую благодарность.
  - в 1836 г. Бегер вышел в отставку в чине полковника, с намерением заняться золотопромышленностью.
  - в марте 1838 г. был снова приглашен на службу, причем произведен в генерал-майоры и назначен начальником Алтайских горных заводов и томским гражданским губернатором.
  - в декабре 1838 года года Бегер оставил Алтай и переехал в Петербург, где занял место члена совета Корпуса горных инженеров (1840).
  - в 1842 г. — член Горного аудиториата.
  - в 1843 г. назначен директором Департамента горных и соляных дел; на этом посту он оставался до 1849 г., когда был произведен в генерал-лейтенанты. Бегер был также членом мануфактурного совета.
  - в 1859 г. Бегер Ф. Ф. был награжден орденом Белого орла.
  - Оставив должность директора горного департамента, Бегер снова пожелал заняться золотопромышленностью; во уважение его опытности в этом деле и других заслуг, ему было разрешено заниматься поисками золота, не оставляя службы в высшем горном управлении.
  - В 1860 г. он делал розыски в северо-восточной части Повенецкого уезда Олонецкой губернии и в соседней части Кемского уезда Архангельской губернии, но поиски эти не увенчались успехом.
  - Во время управления Алтайскими заводами Бегер составил для Горного института коллекцию местных горных пород, руд и заводских рудников.
  
 Умер 29 января 1861 года. Похоронен в С.-Петербурге на Лазаревском кладбище Александро-Невской лавры (ныне Некрополь XVIII века, захоронение утрачено).
  Семья
 Жена, Юлия Ермолаевна (Германовна), сестра горного инженера Фрезе Александра Ермолаевича.
 Дети: Александр 1823, Михаил 1825, Евгения 1830, Екатерина 1832, Ольга 1835, Юлия 1841
  Награды
  - Орден св. Анны 2-й ст. (1830)
  - Орден св. Анны с императорской короной (1840)
  - Орден Белого орла (1859)