Юрий Завадский родился в Москве 30 июня (12 июля) 1894 года.
В 1913 году он поступает на юридический факультет Московского университета и одновременно берёт уроки в школе рисования и живописи С. Ю. Жуковского, а затем в школе П. И. Келина. С 1915 года становится актёром, учеником в студии Е. Б. Вахтангова — это начало театрального пути Юрия Завадского.
В 1920-1924 годах актёр и режиссёр 3-ей студии МХАТа.
В 1924 году состоялся режиссёрский дебют Юрия Александровича Завадского: спектакль по пьесе Н. В. Гоголя «Женитьба».
С 1924 по 1931 годы Юрий Завадский — артист МХТ.
В том же 1924 году он создаёт свою театральную студию (с 1927 года — Театр-студия), актёрами которой были его ученики В. П. Марецкая, Р. Я. Плятт, Н. Д. Мордвинов, П. В. Массальский и др., и руководит ею до 1936 года. Впоследствии В. П. Марецкая становится первой женой Ю. А. Завадского, но их брак был недолговременным.
В 1932 — 1935 годах Ю. А. Завадский возглавляет ЦТКА.
В 1936 году Ю. А. Завадского направляют в город Ростов-на-Дону, где он возглавляет построенный в 1935 году Театр имени М. Горького.
В 1930-е годы официально поженились с выдающейся балериной Г. С. Улановой. Эвакуацию в Казахстан во время войны они провели вместе. Брак их фактически распался после войны, в конце 1940-х годов, хотя официально развод не оформляли.
В 1940 году Ю. А. Завадский возвращается в Москву, где он работает преподавателем в ГИТИС имени А. В. Луначарского, и одновременно является режиссёром, а позднее — главным режиссёром МАДТ имени Моссовета.
В 1947 году он становится профессором ГИТИС имени А. В. Луначарского.
Юрий Александрович Завадский является автором ряда статей и книг. О нём снят телевизионный фильм «Дома у Ю. А. Завадского».
Ю. А. Завадский умер 5 апреля 1977 года. Похоронен 8 апреля 1977 года в Москве на Ваганьковском кладбище в могиле матери.
В 1971 году был снят документальный фильм «Юрий Завадский» (режиссёр М. Е. Голдовская).